仿射空间

梦里伊人 posted @ 2007年8月14日 18:53 in c语言笔记 , 17162 阅读

仿射空间

前几天讲了仿射空间，通过进一步的学习李师兄的moin，我想浅谈一下我现在对仿射空间的认识程度：

在我们以前所学习的几何体系中，点和向量的表示方法相同，但向量之间求和、求差、求数乘，所得结果依然是向量有意义，但是对于点而言，点与点之间求和运算不具备一般意义。引入仿射空间就是为了使点点求和有意义(这样理解不知对否)。那么什么是仿射空间，它又是怎样使点点求和有意义的呢？下面进行一下详细解释。

仿射空间就是由仿射组合所生成的点构成的空间，那么什么是仿射组合呢？在讲解仿射组合之前首先回忆一下线性组合：

对于一组点 $\left\{p_k|k=0, 1, \cdots, n\right\}$ ，有这样的求和公式：

$p = \sum_{k=0}^n c_k p_k \eqno (2)$

这个公式就是点集 $\{p_k\}$ 的线性组合，若 $p_k\in \mathbb{E}^3$ ，那么该线性组合可以生成 $\mathbb{E}^3$ 空间中的任意点，但其中的大多数要依赖于具体坐标系才有意义，只有一少部分是坐标无关的。比如让 $\sum\limits_{k=0}^n c_k = 1$ ，那么公式 (2) 中的点相加就是有意义的，此时称公式 (2) 为点的仿射组合。那么，为什么当 $p_k\in \mathbb{E}^3$ 时，公式 (2) 中的点相加就是有意义呢？为了好理解这一点，我们将公式（2）改为

$p = \sum_{k=0}^n c_kp_0 + \sum_{k=1}^n c_k (p_k - p_0) \eqno (3)$

当 $\sum\limits_{k=0}^n c_k = 1$ 时，也就是在仿射组合的条件下，（3）式变为 $\sum\limits_{k=0}^n p_0 + \sum\limits_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)$ ，其中 $\sum\limits_{k=0}^n p_0$ 是一个点， $\sum\limits_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)$ 是一个向量，其结果就是一个点 $p$ （即具有意义），其位置只与点 $p$ 和向量 $\sum\limits_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)$ 相关，与具体坐标系无关。