仿射空间

梦里伊人 posted @ 2007年8月14日 18:53 in c语言笔记 , 17005 阅读

仿射空间

 

前几天讲了仿射空间,通过进一步的学习李师兄的moin,我想浅谈一下我现在对仿射空间的认识程度:

在 我们以前所学习的几何体系中,点和向量的表示方法相同,但向量之间求和、求差、求数乘,所得结果依然是向量有意义,但是对于点而言,点与点之间求和运算不 具备一般意义。引入仿射空间就是为了使点点求和有意义(这样理解不知对否)。那么什么是仿射空间,它又是怎样使点点求和有意义的呢?下面进行一下详细解 释。

仿射空间就是由仿射组合所生成的点构成的空间,那么什么是仿射组合呢?在讲解仿射组合之前首先回忆一下线性组合:

对于一组点 $\left\{p_k|k=0, 1, \cdots, n\right\}$,有这样的求和公式:

 

$$
p = \sum_{k=0}^n c_k p_k  \eqno (2)
$$

这个公式就是点集$\{p_k\}$ 的线性组合,若$p_k\in \mathbb{E}^3$,那么该线性组合可以生成 $\mathbb{E}^3$ 空间中的任意点,但其中的大多数要依赖于具体坐标系才有意义,只有一少部分是坐标无关的。比如让 $\sum\limits_{k=0}^n c_k = 1$,那么公式 (2) 中的点相加就是有意义的,此时称公式 (2) 为点的仿射组合。那么,为什么当$p_k\in \mathbb{E}^3$时,公式 (2) 中的点相加就是有意义呢?为了好理解这一点,我们将公式(2)改为

 

$$
p = \sum_{k=0}^n c_kp_0 + \sum_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)  \eqno (3)
$$

$\sum\limits_{k=0}^n c_k = 1$时,也就是在仿射组合的条件下,(3)式变为$\sum\limits_{k=0}^n p_0 + \sum\limits_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)$,其中$\sum\limits_{k=0}^n p_0$ 是一个点,$\sum\limits_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)$ 是一个向量,其结果就是一个点 $p$(即具有意义),其位置只与点 $p$ 和向量$\sum\limits_{k=1}^n c_k (p_k - p_0)$ 相关,与具体坐标系无关。

 

      

 

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fhys 说:
2010年7月24日 00:45

能否把完整的文章发给我一下,谢谢,我的邮箱是zwj_fhys@qq.com

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fhys 说:
2010年7月24日 00:45

@fhys: 因为看不清楚网页上的图片,显示不完整。

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韵语诗云 说:
2011年12月05日 10:12

能不能把你完整的文章发我一份 十分感谢 我也不理解仿射变换

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韵语诗云 说:
2011年12月05日 10:12

能不能把你完整的文章发我一份 十分感谢 我也不理解仿射变换


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